PDF-версии: 
В треугольнике MPK биссектриса угла K пересекает сторону MP в точке A. Окружность, описанная около треугольника AMK пересекает сторону PK в точке B.
а) Докажите, что треугольник ABM равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABM, если MK = 9, PK = 6, MP = 5.
Решение. а) Дуги AB и AM равны, так как на них опираются равные вписанные углы AKB и AKM, значит, равны и стягивающие их хорды AB и AM, треугольник ABM равнобедренный по определению.
б) Из треугольника MPK по теореме косинусов найдем
Четырехугольник ABKM вписан в окружность, значит, его противолежащие углы в сумме дают 180°. Имеем:
По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника
откуда находим, что AM = AB = 3. Теперь найдём площадь треугольника ABM:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |