Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.
ИЛИ
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 4 и AK = 3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.
а) Пусть точка H — середина AC. Тогда
Вместе с тем,
а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M.
б) Проведём перпендикуляр NP к прямой A1B1. Отметим, что прямые NP и A1A взаимно перпендикулярны, поскольку ребро призмы перпендикулярно ее основанию. Следовательно, прямая NP перпендикулярна плоскости ABB1 боковой грани призмы. Поэтому прямая MP — проекция прямой MN на плоскость ABB1.
Прямые BM и MN взаимно перпендикулярны, поэтому, по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах, прямые BM и MP также взаимно перпендикулярны. Следовательно, угол NMP — линейный угол искомого двугранного угла.
Длина NP равна половине высоты треугольника A1B1C1, то есть 
Поэтому
Следовательно, 
Ответ: б) 
ИЛИ
а) Пусть O — центр основания пирамиды (рис. 1), тогда
Заметим, что AM : AB = AK : AS, значит, прямые MK и BS параллельны. Кроме того, прямые MN и BC также параллельны, поэтому плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Пусть точки P, Q и R — середины отрезков AD, BC и MN соответственно. Плоскости MNK и SBC параллельны, а плоскость SPQ перпендикулярна прямой BC, поэтому искомое расстояние равно расстоянию от точки R до прямой QS. Опустим из точки R перпендикуляр RH на прямую SQ (рис. 2). Тогда
Ответ: б) 
-------------
Дублирует задание № 510019 и 514480.Спрятать критерии