Ре­ше­ние.

а)  Пусть точка H  — се­ре­ди­на AC. Тогда

Вме­сте с тем,

а тогда по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, тре­уголь­ник BMN яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным с пря­мым углом M.

б)  Про­ведём пер­пен­ди­ку­ляр NP к пря­мой A₁B₁. От­ме­тим, что пря­мые NP и A₁A вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­сколь­ку ребро приз­мы пер­пен­ди­ку­ляр­но ее ос­но­ва­нию. Сле­до­ва­тель­но, пря­мая NP пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABB₁ бо­ко­вой грани приз­мы. По­это­му пря­мая MP  — про­ек­ция пря­мой MN на плос­кость ABB₁.

Пря­мые BM и MN вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­это­му, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мые BM и MP также вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Сле­до­ва­тель­но, угол NMP  — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го дву­гран­но­го угла.

Длина NP равна по­ло­ви­не вы­со­ты тре­уголь­ни­ка A₁B₁C₁, то есть По­это­му

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

а)  Пусть O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды (рис. 1), тогда

За­ме­тим, что AM : AB  =  AK : AS, зна­чит, пря­мые MK и BS па­рал­лель­ны. Кроме того, пря­мые MN и BC также па­рал­лель­ны, по­это­му плос­ко­сти MNK и SBC па­рал­лель­ны.

б)  Пусть точки P, Q и R  — се­ре­ди­ны от­рез­ков AD, BC и MN со­от­вет­ствен­но. Плос­ко­сти MNK и SBC па­рал­лель­ны, а плос­кость SPQ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC, по­это­му ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно рас­сто­я­нию от точки R до пря­мой QS. Опу­стим из точки R пер­пен­ди­ку­ляр RH на пря­мую SQ (рис. 2). Тогда

Ответ: б)