PDF-версии: 
Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника АВС вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке L. Прямая, проходящая через точку L и середину N гипотенузы АВ, пересекает катет ВС в точке М.
а) Докажите, 
б) Найдите площадь треугольника АВС, если AB = 20 и 
Решение. а) Заметим, что точка N — центр описанной окружности вокруг треугольника ABC. Пусть
Треугольник ANC равнобедренный, поэтому 
и 
Треугольник CLN также равнобедренный, поэтому
Вычислим 
как внешний угол в треугольнике LMC:
Что и требовалось доказать.
б) В треугольнике CMN находим: 
тогда
По теореме синусов получаем:
Пусть 
тогда
Очевидно, что 
поэтому
Таким образом,
Ответ: б) 80.
Приведем решение Данилы Карпова.
а) Точка N — середина гипотенузы прямоугольного треугольника, следовательно, она является центром описанной окружности. Отрезок CL — биссектриса прямого угла, тогда 
поэтому дуга AL равна 90°. На эту дугу опирается центральный угол ANL, тогда 
Углы ANL и MNB равны как вертикальные, таким образом, 
тогда треугольники ABC и MNB подобны по двум углам. Следовательно, 
что и требовалось доказать.
б) Как доказано в пункте а), треугольники ABC и MNB подобны, тогда
Учитывая, что MB > 0, получим 
тогда 
По теореме Пифагора
тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |