РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

В наборе 100 гирек весом 1,2, ..., 100 граммов. Их разложили на две кучки, так что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирьки в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.

а)  Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами 1 г, 5 г, 9 г?

б)  Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться 7,5 граммов?

в)  Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

Решение. а)  Средняя масса трёх гирек равнялась 5 граммов, а после добавления четвертой стала равна 6 граммов. Значит, масса добавленной гирьки равна 4 · 6 − 3 · 5  =  9 граммов, что невозможно, поскольку такая гирька уже есть в кучке.

б)  Пусть в первой куче было n гирек, а их средняя масса равнялась a г. Тогда сумма масс всех гирек в ней равнялась na г. После того, как из второй кучи в первую переложили гирьку массой k г, в первой куче стало n + 1 гирек, их средняя масса стала равна a + 1 г, а сумма масс всех гирек в первой куче стала равна na + k г. Таким образом,

$левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка = na плюс k равносильно$ $na плюс n плюс a плюс 1 = na плюс k равносильно$ $a = k минус n минус 1.$

Следовательно, число a целое и не может равняться 7,5.

в)  Сумма масс n гирек не меньше $1 плюс 2 плюс ... плюс n = дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$ следовательно, $a больше или равно дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ В первую кучу переложили гирьку массой k = a + n + 1 (г). Масса этой гирьки не превосходит 100 г, откуда получаем:

$100 больше или равно k=a плюс n плюс 1 больше или равно дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс n плюс 1,$

поэтому $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 100,$ откуда $n меньше или равно целая часть: 65, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 .$

Следовательно, наибольшее значение n не превосходит 65. Покажем, что могло быть 65 гирек. Если в первой кучке лежало 65 гирек массой 1 г, 2 г, ..., 65 г, и к ним добавили гирьку массой $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 65 плюс 1 правая круглая скобка =99 г,$ то средняя масса была равна 33 г, а стала равна 34 г. Таким образом, наибольшее число гирек в первой куче равно 65.

Ответ: а) нет, б) нет, в) 65.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов:   — обоснованное решение пункта а;   — обоснованное решение пункта б;   — искомая оценка в пункте в;   — пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	548562	а) нет, б) нет, в) 65.

Ключ