РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 548481 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Вариант 991;

Задания 16 ЕГЭ–2020.

Методы геометрии: Теорема синусов, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружности, Окружности и треугольники, Треугольники

Планиметрическая задача. Описанные окружности и треугольники

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписан в окружность. Биссектриса угла A пересекает описанную окружность в точке A₁, биссектриса угла  B пересекает описанную окружность в точке B₁, биссектриса угла  C пересекает описанную окружность в точке C₁.

a) Докажите, что угол A₁BB₁  =  45°.

б)  Известно, что $AB=2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $\angle A=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Найдите B₁C₁.

Решение. а)  Углы A₁BC и A₁AC равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно,

$\angle A_1BB_1=\angle A_1AC плюс \angle CBB_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle A плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle B = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \angle A плюс \angle B правая круглая скобка =45 градусов.$

б)  Вычислим угол B:

$\angle B=90 градусов минус \angle A = 30 градусов.$

Вычислим угол B₁A₁A:

$\angle B_1A_1A=\angle B_1BA= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 30 градусов =15 градусов.$

Вычислим угол AA₁C₁:

$\angle AA_1C_1=\angle ACC_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 90 градусов = 45 градусов,$

таким образом, $\angle B_1A_1C_1=60 градусов.$

По теореме синусов имеем:

$B_1C_1=2R синус \angle B_1A_1C_1,$

где R  — это радиус описанной около треугольника A₁B₁C_1. окружности и 2R  =  AB.

Таким образом,

$B_1C_1=2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби =3.$

Ответ: б) 3.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 3.

548481

б) 3.

Источники:

ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Вариант 991;

Задания 16 ЕГЭ–2020.

Методы геометрии: Теорема синусов, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружности, Окружности и треугольники, Треугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	548481	б) 3.