PDF-версии: 
При каких значениях a система
имеет ровно два решения?
Решение. Преобразуем систему:
Изобразим линии, соответствующие предложениям системы, в плоскости xOy. Каждое из двух уравнений 
задаёт пучок прямых, проходящих через начало координат, симметричных друг другу относительно оси ординат и совпадающих при 
Двойное неравенство 
задает горизонтальную полосу, ограниченную прямыми 
и 
включая границы. Уравнение 
задает окружность с центром в точке 
и радиусом 
Дуга окружности, лежащая в указанной полосе, выделена на рисунке синим. Определим, при каком значении параметра а прямые, задаваемые уравнениями 
имеют с этой дугой окружности ровно две общие точки.
Точка 
является решением при любом значении параметра a. Вторая точка пересечения соответствует следующим трем случаям.
— Пересечению совпадающих при 
прямых с дугой окружности в точке (6; 0) — см. рис., выделено оранжевым.
— Пересечению с дугой окружности одной из прямых в том случае, когда другая прямая является касательной, проходящей через точку 
Найдем уравнение такой касательной. Прямая, проходящая через начало координат, задается уравнением 
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть перпендикулярна прямой 
содержащий этот радиус (см. рис.). Две прямые на плоскости, отличные от координатных осей, перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1. Тем самым 
откуда 
Следовательно, искомое уравнение касательной есть 
что соответствует значениям 
При этом вторая прямая 
не пересекает дугу окружности в точке, отличной от начала координат, а значит, найденные значения параметра не являются искомыми.
— Пересечению с дугой окружности одной из прямых, если при этом вторая прямая не пересекает дугу в точке, отличной от точки Этот случай реализуется при 
или при 
за исключением ранее отброшенных точек
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |