Тип 19 № 548389 
Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии
i
На доске написано n единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n = 12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма:
1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147.
а) Могла ли сумма равняться 150, если n = 60?
б) Могла ли сумма равняться 150, если n = 80?
в) Чему могло равняться n, если полученная сумма чисел равна 150?
Решение. а) Да, например, 10 раз по 11 и 40 раз по 1.
б) Нет. Заметим, что число дает тот же остаток от деления на 3, что и его сумма цифр. Поэтому сумма всех этих чисел будет давать остаток от деления на 3 такой же, как и просто сумма восьмидесяти единиц, то есть 2, а 150 кратно трем. Противоречие.
в) Ясно, что использовать слагаемые большие чем 111 нельзя, а само число 111 можно, но только один раз. Если оно использовано, то нужно набрать ещё 39, это делается использованием числа 11 от 0 до 3 раз и, соответственно, требует 42, 33, 24, 15 единиц.
Если число не использовано, то можно использовать 11 от 0 до 13 раз. Каждое новое использование 11 вместо двух единиц увеличивает сумму на 9, поэтому должно сопровождаться выкидыванием девяти единиц. Следовательно, можно взять также 150, 141, ..., 33 единицы. Общий ответ: числа 150, 141, ..., 15 (прогрессия с разностью 9).
Ответ: а) да; б) нет; в) 150, 141, 132, 123, 114, 105, 96, 87, 78, 69, 60, 51, 42, 33, 24, 15.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: ― обоснованное решение пункта а; ― обоснованное решение пункта б; ― искомая оценка в пункте в; ― пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да; б) нет; в) 150, 141, 132, 123, 114, 105, 96, 87, 78, 69, 60, 51, 42, 33, 24, 15.
548389
а) да; б) нет; в) 150, 141, 132, 123, 114, 105, 96, 87, 78, 69, 60, 51, 42, 33, 24, 15.
PDF-версии: