РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 530402 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Треугольная призма, Угол между прямой и плоскостью

Стереометрическая задача. Угол между прямой и плоскостью

В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC. Точки K и M  — середины рёбер A₁B₁ и AC соответственно.

а)  Докажите, что KM  =  KB.

б)  Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB₁, если AB  =  8, AC  =  6 и AA₁  =  3.

Решение. а)  Пусть L  — середина ребра AB. Треугольник AMB прямоугольный, поэтому его медиана  LM равна половине гипотенузы и равна  LB. Из равенства треугольников KLM и KLB следует, что KM  =  KB.

б)  Пусть MH  — высота в треугольнике AMB. Прямая MH перпендикулярна прямым AB и BB₁, следовательно, она перпендикулярна плоскости ABB₁ и угол HKM  — искомый.

Вычисляя двумя способами площадь треугольника AMB, получим $MH умножить на AB=MA умножить на MB,$ откуда

$MH= дробь: числитель: MA умножить на MB, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 8 в квадрате минус 3 в квадрате конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 55 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби .$

Поэтому

$синус \angle HKM= дробь: числитель: HM, знаменатель: KM конец дроби = дробь: числитель: HM, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 в квадрате плюс 4 в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 55 конец аргумента , знаменатель: 40 конец дроби ,$

тогда $\angle HKM= арксинус дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 55 конец аргумента , знаменатель: 40 конец дроби .$

Ответ: б) $арксинус дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 55 конец аргумента , знаменатель: 40 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

530402

б) $арксинус дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 55 конец аргумента , знаменатель: 40 конец дроби .$

Методы геометрии: Метод площадей

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Треугольная призма, Угол между прямой и плоскостью

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	530402	б) $арксинус дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 55 конец аргумента , знаменатель: 40 конец дроби .$