Тип 19 № 529303 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
На сайте школы идет голосование на звание «Лучший ученик года», где каждый посетитель голосует только за одного из претендентов. Рейтинг каждого претендента (доля голосов, отданных за него) выражается в процентах, округленных до целого числа. Например, числа 9,3; 17,5 и 19,9 округляются до 9; 18 и 20 соответственно.
а) Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Мог ли рейтинг одного из претендентов равняться 41?
б) Пусть претендентов четверо. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого претендента равнялся 5. Это число не изменилось и после того, как Игорь проголосовал за него. При каком наименьшем числе отданных за всех претендентов голосов, включая Игоря, такое возможно?
Решение. а) Пусть k — число посетителей, проголосовавших за ученика. Заметим, что рейтинг ученика будет равен 41, если доля голосов, отданных за него, лежит в пределах от 40,5% до 41,5%. Таким образом, получаем двойное неравенство:
Число k — целое, следовательно, оно не может лежать в полученном интервале.
б) Пусть число проголосовавших равно 1000. Из них за первого ученика — 255 человек, за второго — 256, за третьего — 257, за последнего — остальные 232. Тогда их рейтинги равны 26 + 26 + 26 + 23 = 101 > 100.
в) Пусть k — число голосов, отданных за ученика, включая голос Игоря, n — общее число голосов. Заметим, что после того как Игорь отдал свой голос за данного ученика, доля голосов, отданных за этого ученика увеличилась, а рейтинг — нет. Получаем:
Представляя в виде системы двух неравенств получим:
Так как n — целое, то 
Учитывая, что должны выполняться все неравенства системы, получим:
Так как k — целое, то 
Тогда из неравенства 
получаем:
Следовательно, 
При 
условие задачи выполнено. Значит, минимальное число проголосовавших при условиях, данных в задаче, равно 110.
Ответ: а) нет, б) да, в) 110.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) нет, б) да, в) 110.
529303
а) нет, б) да, в) 110.
PDF-версии: