PDF-версии: 
В кубе ABCDA1B1C1D1 рёбра равны 1. На продолжении отрезка A1C1 за точку C1 отмечена точка M так, что A1C1 = C1M, а на продолжении отрезка B1C за точку C отмечена точка N так, что B1C = CN.
а) Докажите, что MN = MB1.
б) Найдите расстояние между прямыми
Решение. а) Введем систему координат, как показано на рисунке. В введенной системе координат имеем:
Таким образом, 
б) Проекцией ребра B1C1 на плоскость DCC1D1 является точка C1. Спроектируем прямую MN на плоскость DCC1D1, получим отрезок M1N1. Таким образом, задача свелась к нахождению расстояния от точки C1 до отрезка M1N1. Это расстояние равно длине высоты, проведенной из вершины C1 треугольника N1C1M1. Этот треугольник является прямоугольным, а его катеты равны 2 и 1. Его гипотенуза находится по теореме Пифагора, она 
Ответ: 
Приведем решение пункта б) Святослава Горбатова (Сочи).
Пункт а) решён с помощью координатно-векторного метода, логично, если пункт б) будет решён этим же методом и идеи пункта а) получат развитие. В треугольнике A1NM точка С1 — середина отрезка A1M. Проведем отрезок C1P параллельно прямой NM, тогда отрезок C1P — средняя линия и точка P — середина отрезка A1N. Тогда плоскость B1C1P содержит прямую B1C1 и параллельна прямой MN, значит, искомым расстоянием является расстояние от точки M до плоскости B1C1P.
Из пункта а): 
Найдем координаты точки P:
Далее находим коэффициенты в уравнении плоскости B1C1P, используя координаты точек B1, C1 и P:
Пусть 
тогда 
Найдем расстояние от точки M до плоскости B1C1P:
Приведем решение Никиты Хисамутдинова (Салават).
а) Достроим три аналогичных исходному куба так, как показано на рисунке. По теореме Пифагора в треугольнике MNP1:
а в треугольнике MB1B2:
Таким образом, 
б) Отрезок B1C1 содержится в отрезке B1M1, значит, расстояние между прямыми
Приведем решение Артема Калмыкова (Уфа).
а) В плоскости грани A1B1C1D1 через точку M проведем прямую, перпендикулярную прямой B1C1, обозначим F1 точку их пересечения. Углы C1MF1 и C1A1B1 равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых A1B1 и MF1 секущей A1M. Углы A1C1B1 и F1C1M равны как вертикальные, следовательно, треугольники A1C1B1 и C1MF1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда 
Треугольник B1F1M — прямоугольный, по теореме Пифагора получаем:
откуда 
В плоскости грани B1C1CB проведем через точку N проведем прямую, перпендикулярную прямой B1C1, обозначим F2 точку их пересечения. Треугольники B1C1С и B1F2N подобны по двум углам, причем 
Тогда по теореме Фалеса 
По построению прямая MF1 перпендикулярна прямой B1C1. Кроме того, прямая MF1 перпендикулярна прямой CC1. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая MF1 перпендикулярна плоскости B1C1CB. По построению прямая NF2 лежит в этой плоскости, причем 
и Значит, точки F1 и F2 совпадают, а треугольник MF1N — прямоугольный с прямым углом 
Отрезок CC1 — средняя линия треугольника B1F1N, поэтому 
По теореме Пифагора получаем:
откуда 
Таким образом, 
что и требовалось доказать.
б) Расстояние между прямыми есть длина их общего перпендикуляра. Проведем прямую F1H перпендикулярно прямой MN. По предыдущим построениям прямая B1C1 перпендикулярна как прямой MF1, так и прямой NF1. Следовательно, прямая B1C1, то есть прямая B1F1, перпендикулярна плоскости MF1N, а потому и прямой F1H. Следовательно, высота F1H треугольника MF1N является общим перпендикуляром прямых B1C1 и MN. Найдем площадь этого треугольника двумя способами:
Таким образом,
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |