PDF-версии: 
В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей , масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1030 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Решение. Пусть всего a овощей тяжелее 1000 г (а их суммарная масса 
), b овощей весят 1000 г (их суммарная масса 
), c овощей легче 1000 г (их суммарная масса 
). Тогда условие записывается системой:
а) В этом случае 
и 
Из системы имеем: 
откуда 
Противоречие с условием, так как овощи тяжелее килограмма, есть, поскольку их средняя масса 1030 г.
б) В этом случае 
Тогда из системы имеем: 
и 
откуда 
Но тогда a — нецелое число. Противоречие.
в) Пусть x — масса самого легкого овоща. Тогда средняя масса овощей, которые легче 1000 г, не превосходит
Это выражение должно быть не меньше 988. Решая неравенство 
получаем 
Следовательно, чтобы найти минимальное возможное x, надо найти максимально возможное 
Из уравнения 
следует, что 
кратно 5. Кроме того, c меньше 73. Максимальное c, при котором уравнение имеет натуральные решения (b может равняться и 0), это 
Необходимо убедиться, что c не может равняться 70, 65, 60 и 55. Подставляя эти значения c в уравнение, мы получим, что 
может равняться 384, 878, 1372, 1866. Покажем, что эти уравнения не имеют решений в целых неотрицательных числах. Действительно, пусть, например, 
Это означает, что 
То есть 
кратно 100. Аналогично, 
кратны 100. Это означает, что a в этих случаях как минимум 22, но тогда b, очевидно, отрицательно.
Тогда минимальное возможное x получается из уравнения 
откуда 
(иначе будет противоречие с необходимым неравенством, полученным выше). Пример следует из решения: один овощ массой 449 г, сорок девять овощей массой 999 г, три овоща массой 1000 г и двадцать овощей массой 1030 г.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 449.
Приведем решение, предложенное Никитой Фединым.
Пусть всего a овощей тяжелее 1000 г, b овощей весят по 1000 г, c овощей легче 1000 г. Тогда
откуда 
а) Если в ящике равное количество овощей массой меньше 1000 г и массой больше 1000 г, то 
C учетом равенства 
это может быть только при 
что противоречит условию задачи. Поэтому ответ — нет.
б) Допустим, в ящике ровно 11 овощей массой 1000 г, тогда 
Подставив получим 
Данное уравнение не имеет решений в натуральных числах, поэтому в ящике не может быть ровно 11 овощей весом 1000 г.
в) Пусть x — масса самого легкого овоща. Тогда средняя масса овощей, которые легче 1000 г, не превосходит
Это выражение должно быть не меньше 988. Решая неравенство получаем, что Следовательно, чтобы найти минимальное возможное x, надо найти максимально возможное c. По условию задачи 
тогда 
следовательно, 
Значение c должно быть кратным 5, чтобы значение 
было целым. Поэтому 
Минимальное возможное x получим из уравнения откуда 
Пример следует из решения: один овощ массой 449 г, сорок девять овощей массой 999 г, три овоща массой 1000 г и двадцать овощей массой 1030 г.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: ― пример в п. а; ― обоснованное решение п. б; ― обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); ― обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |