РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описали окружность с диаметром BN. Высота BH пересекает эту окружность в точке K.

а)  Докажите, что $AN=CK.$

б)  Найдите KN, если $\angle BAC=35 градусов,$ $\angle ACB=65 градусов,$ а радиус окружности равен 12.

Решение. a) Равные дуги стягивают равны хорды; вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Поэтому достаточно доказать, что $\angle ABN=\angle KBC.$ Пусть угол  КВС равен α. Сумма острых углов прямоугольного треугольника BНC равна 90°, поэтому $\angle BCH= \angle BCA =90 градусов минус альфа .$ Центральный угол ВОА в два раза больше вписанного угла ВСА, опирающегося на ту же дугу АВ, поэтому $\angle BOA= 180 градусов минус 2 альфа .$ Наконец, треугольник  BОА равнобедренный, поскольку AO  =  OB как радиусы окружности, поэтому каждый из равных углов при его основании АВ равен $\tfrac12 левая круглая скобка 180 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус 2 альфа правая круглая скобка правая круглая скобка = альфа .$ Итак, $\angle ABN= альфа = \angle KBC,$ поэтому $AN=CK.$ Требуемое доказано.

б)  Заметим, что $\angle ABC=80 градусов.$ Тогда

$\angle NBK=\angle ABC минус \angle ABN минус \angle KBC=80 градусов минус 25 градусов минус 25 градусов=30 градусов.$

Далее, $\angle NKB=90 градусов$ как угол, опирающийся на диаметр. Диаметр равен удвоенному радиусу: $BN=24.$ Тогда $KN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BN=12$ как катет, лежащий против угла в 30° в прямоугольном треугольнике BKN.

Ответ: 12.

Примечание Евгения Обухова (Москва).

Пункт а)  — это известный факт о том, что при изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.

Примечание Дмитрия Гущина.

Ученик, занимающийся в математическом кружке или посещающий факультатив по математике, узнает в задаче стандартную конструкцию: радиус описанной окружности и высоту, проведенные из одной вершины треугольника. Эти отрезки переходят друг в друга при симметрии относительно биссектрисы треугольника, исходящей из той же вершины. Поскольку при такой симметрии стороны угла также переходят в друг друга, угол КВС переходит в угол ABN. Отсюда и следует равенство хорд AN и СК.

Прямые, проходящие через вершину угла и симметричные относительно биссектрисы этого угла, называются изогональными. Материалы для занятия со школьниками по данной теме можно взять, например, в статье Д. Прокопенко «Изогональное сопряжение и педальные треугольники».

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

№ п/п	№ задания	Ответ
1	526255	12.

Ключ