PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC точка K — делит сторону SC в отношении 
считая от вершины S, точка N — делит сторону SB в отношении считая от вершины S. Через точки N и K параллельно SA проведена плоскость 
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью 
параллельно прямой BC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости 
если известно, что 
Решение. а) Треугольники SNK и SBC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, поэтому отрезок NK параллелен ВС. Поскольку прямая ВС параллельна лежащей в плоскости сечения прямой NK, она параллельна и самой плоскости сечения по признаку параллельности прямой и плоскости.
б) Пусть H — середина BC. Проведём SH и AH и пусть плоскость SHA пересекает по прямой QR (см. рис.). Тогда QR и SА параллельны, а расстояние от точки B до плоскости равно расстоянию от точки Н до плоскости
В треугольнике SHA имеем: 
Проведём высоту треугольника НT и найдем её. Пусть 
тогда 
тогда, применяя теорему Пифагора для треугольников ATH и STH, получаем: 
Тогда 
По построению, отрезок НT перпендикулярен ребру SA. В силу параллельности SA и QR, отрезки НT и QR также перпендикулярны. Кроме того, ребро ВС перпендикулярно плоскости SHA по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, а потому и ВС перпендикулярно НT. Но ВС параллельно NK, поэтому НT и NK перпендикулярны. Тем самым, прямая НT перпендикулярна двум пересекающимся прямым NK и QR, лежащим в плоскости сечения, а значит, и всей плоскости сечения.
Треугольники SNK и SBC подобны с коэффициентом 
поэтому 
а тогда треугольники QHR и SHA подобны с коэффициентом 
Это означает, что плоскость сечения делит высоту HT в отношении 2:1, считая от точки Н. Следовательно, расстояние между Н и QR равно двум третьим высоты HT или 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |