PDF-версии: 
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и N — середины сторон AB и CD соответственно. Окружность проходит через точки B и C и пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q, отличных от концов отрезка, соответственно.
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите PM, если отрезки AQ и BQ перпендикулярны, AB = 15, BC = 1, CD = 17, AD = 9.
Решение. a) По условию, четырёхугольник PBCQ вписанный. Значит,
Отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD, она параллельна основанию BC, а тогда 
как односторонние углы при параллельных прямых. Следовательно, 
Для смежных углов справедливо равенство 
а значит, 
В четырёхугольнике MPQN сумма противоположных углов равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Таким образом, точки M, N, P и Q лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.
б) Пусть 
(эти углы равны как соответственные углы при параллельных прямых). В пункте а) было показано, что 
это означает, что 
и, следовательно, точки A, D, P и Q тоже лежат на одной окружности.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Следовательно, 
и 
Значит, треугольники DPC и AQB подобны по двум углам. Следовательно, 
поскольку по условию AQ и BQ перпендикулярны.
В прямоугольном треугольнике CPD точка N — середина гипотенузы. Следовательно, 
С другой стороны, средняя линия трапеции 
Покажем, что угол 
— прямой. Для этого на отрезке AD отметим точку E, так что 
тогда 
Заметим, что 
следовательно, по теореме обратной теореме Пифагора треугольник ABE прямоугольный, с прямым углом BAE. Значит, треугольник PNM также прямоугольный. Применяя теорему Пифагора, получаем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |