РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 525413 Добавить в вариант

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 19.03.2019. Вариант 1

Классификатор алгебры: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

Числа и их свойства. Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

Агата добиралась от дома до института на своем автомобиле с постоянной скоростью 100 км/⁠ч. Обратно она ехала с постоянной скоростью, которая измерялась целым числом километров в час, причем путь до дома занял у нее больше времени, чем путь до института.

а)  Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки составить 90 км/⁠ч?

б)  Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки оказаться равной целому числу километров в час?

в)  Какое наименьшее целое число километров в час могла составлять ее средняя скорость за эти две поездки?

Решение. Пусть скорость Агаты на обратном пути составила x км/ч, а путь от дома до института составляет S км. Тогда средняя скорость Агаты будет равна $V_ср= дробь: числитель: 2S, знаменатель: дробь: числитель: S, знаменатель: 100 конец дроби плюс дробь: числитель: S, знаменатель: x конец дроби конец дроби ;V_ср= дробь: числитель: 200x, знаменатель: x плюс 100 конец дроби$ км/ч.

а)  Нет, не могла. Пусть средняя скорость составила 90 км/⁠ч. Тогда

$дробь: числитель: 200x, знаменатель: x плюс 100 конец дроби =90 равносильно 200x=90x плюс 9000 равносильно 110x=9000 равносильно x= дробь: числитель: 900, знаменатель: 11 конец дроби ,$

что противоречит целочисленности x.

б)  Да, могла. Если $x=60$ км/ч, то $V_ср= дробь: числитель: 200 умножить на 60, знаменатель: 160 конец дроби ;V_ср=75$ км/ч.

в)  Чем меньше x, тем меньше средняя скорость.

$дробь: числитель: 200x, знаменатель: x плюс 100 конец дроби$   — целое, поэтому $200x$ кратно $левая круглая скобка x плюс 100 правая круглая скобка .$ Но $200 левая круглая скобка x плюс 100 правая круглая скобка$ кратно $левая круглая скобка x плюс 100 правая круглая скобка ,$ значит, 20000 кратно $левая круглая скобка x плюс 100 правая круглая скобка .$ Поскольку $20000=2 в степени 5 умножить на 5 в степени 4 ,$ то $x плюс 100=2 в степени k умножить на 5 в степени m ,$ где $k\leqslant5,m\leqslant4.$ При этом поскольку $x принадлежит левая круглая скобка 0;100 правая круглая скобка ,$ то $левая круглая скобка x плюс 100 правая круглая скобка принадлежит левая круглая скобка 100;200 правая круглая скобка .$ (*)

1.   $m=0.$ Тогда $x плюс 100\leqslant2 в степени 5 ,$ что противоречит (*).

2.   $m=1.$ Тогда $x плюс 100=5 умножить на 2 в степени k .$ Данное выражение находится в интервале $левая круглая скобка 100;200 правая круглая скобка$ только при $k = 5,$ то есть $x=60.$

3.   $m=2.$ Тогда $x плюс 100=25 умножить на 2 в степени k .$ Данное выражение не находится в интервале $левая круглая скобка 100;200 правая круглая скобка$ ни при каких k.

4.   $m=3.$ Тогда $x плюс 100=125 умножить на 2 в степени k .$ Данное выражение находится в интервале $левая круглая скобка 100;200 правая круглая скобка$ только при $k = 0,$ то есть $x=25.$

Таким образом, наименьшее значение средней скорости достигается при $x=25$ км/ч, и тогда средняя скорость равна: $V_ср= дробь: числитель: 5000, знаменатель: 125 конец дроби =40$ км/ч.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  40 км/⁠ч.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  40 км/⁠ч.

525413

а)  нет; б)  да; в)  40 км/⁠ч.

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 19.03.2019. Вариант 1

Классификатор алгебры: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	525413	а)  нет; б)  да; в)  40 км/⁠ч.