РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Склад представляет собой прямоугольный параллелепипед с целыми сторонами, контейнеры  — прямоугольные параллелепипеды с размерами 1×1×3 м. Контейнеры на складе можно класть как угодно, но параллельно границам склада.

а)  Может ли оказаться, что полностью заполнить склад размером 120 кубометров нельзя?

б)  Может ли оказаться, что на склад объемом 100 кубометров не удастся поместить 33 контейнера?

в)  Пусть объем склада равен 800 кубометров. Какой процент объема такого склада удастся гарантировано заполнить контейнерами при любой конфигурации склада?

Решение. а)  Объем склада 120 м³, поэтому одно из измерений склада кратно трем. Будем класть контейнеры длинной стороной вдоль этого измерения. Таким образом, вдоль него полностью уместится целое число контейнеров. Вдоль остальных измерений лягут измерения контейнеров длины 1 м, поэтому указанным образом склад гарантированно удастся упаковать полностью.

б)  Рассмотрим склад с размерами 2×2×25 м. Очевидно, что длинную сторону контейнера можно поместить только вдоль длинной стороны склада. При этом поместится не более восьми контейнеров, то есть поместится максимум 32 контейнера и еще 4 м³ объема останется свободно.

в)  Покажем, что 99% объема склада 2×2×200 м можно заполнить контейнерами. Положим 66 контейнеров длинной стороной вдоль двухсотметровой стороны склада. Рядом с ними положим второй ряд из 66 контейнеров. На полученные два нижних ряда положим такие же два верхних ряда. Незаполненным останется пространство 2×2×2 м или 1% объема склада.

Осталось показать, что при любой другой конфигурации склада получится заполнить не менее 99% объема. Действительно, пусть сторона а склада a×b×c м не меньше трех. Отделим от нее участок склада со стороной 3, то есть с размерами 3×b×c м. Его можно заполнить контейнерами без пустот. Продолжаем отделять такие участки, пока не останется параллелепипед с измерениями, не превосходящими 2×2×2. Это и означает, что пустом пространством останется не более 8 из 800 кубометров.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  99%.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	525383	а)  нет; б)  да; в)  99%.

Ключ