Ре­ше­ние. а)  Обо­зна­чим цен­тры окруж­но­стей O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но. Пусть общая ка­са­тель­ная, про­ведённая к окруж­но­стям в точке K, пе­ре­се­ка­ет AB в точке M. По свой­ству ка­са­тель­ных, про­ведённых из одной точки, AM  =  KM и KM  =  BM. Таким об­ра­зом,

в тре­уголь­ни­ке AKB ме­ди­а­на равна по­ло­ви­не сто­ро­ны, к ко­то­рой она про­ве­де­на, зна­чит, он пря­мо­уголь­ный.

Впи­сан­ный угол AKD пря­мой, по­это­му он опи­ра­ет­ся на диа­метр AD. Зна­чит, AD ⊥ AB. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что BC ⊥ AB. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

б)  В пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABO₂O₁ по­стро­им вы­со­ту O₂H и найдём ее из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка O₂HO₁:

Тогда Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BAD по­лу­ча­ем:

Тре­уголь­ни­ки BKC и AKD по­доб­ны, по­это­му а

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка СКВ на­хо­дим тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка СКD на­хо­дим

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка BСD на­хо­дим ис­ко­мый ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти:

Ответ: