PDF-версии: 
Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите длину отрезка QN, если BC = 4,5, AD = 21,5, AB = 26, CD = 25, а угол CPD — прямой.
Решение. а) Пусть угол BPQ равен γ. Четырёхугольник PBCQ вписанный, сумма его противоположных углов равна 180°, поэтому
Угол MPQ смежный с углом BPQ, поэтому 
Отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD, она параллельна BC, поэтому 
Тем самым, в четырехугольнике MPQN сумма противоположных углов равна 180°: 
а значит, он вписанный.
б) В прямоугольном треугольнике CPD проведенная к гипотенузе медиана равна ее половине: 
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: 
Через вершину трапеции B проведем прямую, параллельную боковой стороне CD, пусть L — точка ее пересечения с основанием AD. Стороны треугольника ABL равны 26, 17 и 25. Найдем его площадь по формуле Герона, затем найдем высоту h, проведенную к стороне AL, она будет являться также высотой трапеции ABCD:
Отсюда находим: 
Поскольку 
по теореме синусов для треугольника MPN найдем радиус окружности, описанной около треугольника MPQ:
поэтому можно найти MQ по теореме синусов для треугольника MQN:
Таким образом, треугольник MQN равнобедренный, тогда
Ответ: а) доказано, б) 
Приведём другое решение пункта б).
Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке R. Заметим, что треугольники MNR и BCR подобны с коэффициентом 
Тогда 
откуда 
и 
откуда 
Через вершину B проведем отрезок BL, параллельный CN, получим треугольник MBL со сторонами 13, 12,5 и 8,5, к которому применим теорему косинусов. Для удобства можно рассмотреть подобный ему треугольник со сторонами 26, 25 и 17, для которого 
откуда 
По условию, треугольник CPD прямоугольный, отрезок PN является в нем медианой, проведенной к гипотенузе. Поэтому 
В треугольнике MPN угол M равен углу А, тогда по теореме косинусов имеем:
откуда 
или 
Далее из подобия получаем:
откуда 
или
откуда 
Приведём ещё одно решение пункта б).
По условию, четырехугольник PBCQ вписанный. Из этого следует, что углы PBQ и PCQ равны, как опирающиеся на одну и ту же дугу.
Заметим, что поскольку углы QNM и CDA равны, сумма противоположных углов АPQ и ADQ четырехугольника APQD также равна 180°, а значит, он тоже вписанный. Из этого следует, что углы PAQ и PDQ равны, как опирающиеся на одну и ту же дугу.
Объединяя эти наблюдения, заключаем, что в треугольниках CPD и BQA есть две пары равных углов:
Но по условию угол CPD прямой. Следовательно, угол BQA тоже прямой.
В прямоугольном треугольнике BQA проведенная к гипотенузе BA медиана равна ее половине: 
Средняя линия трапеции ABCD равна полусумме оснований: 
Следовательно, треугольник MQN равнобедренный. Тогда 
Через вершину трапеции C проведем прямую, параллельную боковой стороне AB, и пусть S — точка ее пересечения с основанием трапеции AD. Стороны треугольника SCD равны 26, 17 и 25. Применим теорему косинусов: 
откуда
Таким образом, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |