Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 520963
i

Найти все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка y= левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2ax плюс a минус 1 новая стро­ка y в квад­ра­те =x в квад­ра­те конец си­сте­мы .

имеет ровно че­ты­ре раз­лич­ных ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Из вто­ро­го урав­не­ния сле­ду­ет, что y=\pm x. Рас­смот­рим два слу­чая, под­ста­вив зна­че­ние y в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы.

1)  Если y=x, имеем:

левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a минус 1=0.

Если a= минус 1, то x= минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Если a не равно минус 1, имеем квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но x. Тре­бу­ем по­ло­жи­тель­но­сти его дис­кри­ми­нан­та для поолу­че­ния 2 раз­лич­ных кор­ней:

левая круг­лая скоб­ка 2a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

2)  Если y= минус x, имеем:

левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a минус 1=0.

Если a= минус 1, то x= минус 2.

Если a не равно минус 1, имеем квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но x. Тре­бу­ем по­ло­жи­тель­но­сти его дис­кри­ми­нан­та для поолу­че­ния 2 раз­лич­ных кор­ней:

левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но a боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Также важно про­ве­рить, чтобы корни урав­не­ний из пер­во­го и вто­ро­го слу­чая не сов­па­да­ли:

левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a минус 1= левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a минус 1 рав­но­силь­но x=0. Тогда a не равно 1.

Пе­ре­се­кая по­лу­чен­ные от­кры­тые лучи из пер­во­го и вто­ро­го слу­чая по­лу­ча­ем ито­го­вый ответ:

минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше a мень­ше минус 1, минус 1 мень­ше a мень­ше 1, 1 мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го толь­ко вклю­че­ни­ем точек a=4 минус 2 ко­рень из 2 , a= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , a=4 и/или a=4 плюс 2 ко­рень из 2 .

3
В ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний a левая круг­лая скоб­ка a=4 минус 2 ко­рень из 2 , a= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , a=4, a=4 плюс 2 ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний a

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния

2
Верно рас­смот­рен хотя бы один из слу­ча­ев ре­ше­ния и по­лу­чен или про­ме­жу­ток левая круг­лая скоб­ка 4 минус 2 ко­рень из 2 ;4 плюс 2 ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , или два про­ме­жут­ка левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и левая круг­лая скоб­ка 4; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , воз­мож­но, с вклю­че­ни­ем гра­нич­ных точек

ИЛИ

за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния окруж­но­сти и пря­мых (ана­ли­ти­че­ски или гра­фи­че­ски)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0

Аналоги к заданию № 521009: 520963 Все

Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025