№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задание 16 № 520848

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 10. Известно, что AB = BC = CD = 6.

а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Решение.

а) Острые углы BCA и CAD равны, поскольку опираются на дуги стянутые равными хордами AB и CD. Значит, прямые BC и AD параллельны.

б) Обозначим угол BCA через α. По теореме синусов для треугольника ABC имеем

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому . Значит, Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому Значит,

По теореме синусов для треугольников ACD и ACB получаем:

откуда, используя формулу синуса тройного угла, получаем:

 

Приведем другое решение пункта б)

Заметим, что центр описанной окружности лежит вне трапеции. Проведем две высоту трапеции BH — из вершины B и параллельную ей прямую EF проходящую через центр окружности. Обозначим AE = x, OE = y. Тогда из треугольника AOE по теореме Пифагора имеем а из треугольника BOF: Тогда высота трапеции а AH = x – 3. Напишем теорему Пифагора для треугольника ABH:

 

Подставим полученный результат в первое уравнение и решим его.

 

Очевидно, что нам подходит только положительный корень, откуда AD = 2x = 15,84.

 

Приведем решение пункта б), присланное читателем сайта.

Так как AB = BC = CD, эти хорды стягивают равные дуги. Значит, По теореме синусов для треугольника ABC имеем: откуда

 

Опустим высоту BH на основание AD. Тогда

 

Ответ: б)