Тип 18 № 683391 
Задача с параметром. Аналитическое решение систем
i
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решение. Решим второе уравнение системы.
При a = 0 исходная система не имеет решений.
При 
при подстановке в первое уравнение системы 
или 
получаются квадратные уравнения. Значит, исходная система уравнений имеет ровно 4 различных решения тогда и только тогда, когда каждое из этих уравнений имеет ровно два корня и пара чисел (1;1) не является решением исходной системы.
При x = 1 получаем:
Это квадратное уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:
откуда, учитывая условие
получаем
или
При получаем:
Это квадратное уравнение имеет два корня при положительном дискриминанте:
Пара чисел (1;1) является решением исходной системы при 
то есть 
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно 4 решения при 
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ:
