PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD равна 12, боковое ребро PA ― 
Через вершину A проведена плоскость α, перпендикулярная прямой PC и пересекающая ребро PC в точке K.
а) Докажите, что плоскость α делит высоту PH пирамиды PABCD в отношении 2 : 1, считая от вершины P.
б) Найдите расстояние между прямыми
Решение. а) Пусть прямая AK пересекает прямую PH в точке M.
и 
поэтому 
поэтому AK ― высота и медиана правильного треугольника PAC. Следовательно, M ― точка пересечения медиан этого треугольника, откуда и получаем PM : MH = 2 : 1.
б) Пусть точка L ― проекция точки K на плоскость ABC. KL || PH и PK = KC, поэтому 
и L ― середина CH. Отрезок BL ― проекция отрезка BK на плоскость ABC. Поскольку 
точка H ― проекция прямой PH на плоскость ABC. Значит, расстояние между прямыми
Далее имеем:
Ответ: б) 
Приведем решение пункта б) Александра Турбанова (Липецк).
б) Поскольку треугольник PAC — равносторонний, то
Введем прямоугольную систему координат с началом в точке B, как показано на рисунке. Имеем:
Рассмотрим плоскость α, которая проходит через прямую PH параллельно прямой BK. Вектор 
параллелен плоскости α, а значит, перпендикулярен нормали к ней. Пусть вектор нормали имеет координаты 
тогда
Подставим координаты точек 
получим систему уравнений:
Вычтем из первого уравнения системы второе, получим: 
откуда 
Подставим в третье уравнение, получим 
откуда 
Находим D:
Получаем уравнение плоскости α:
следовательно, вектор нормали к плоскости α имеет координаты 
Расстояние между прямыми PH и BK равно
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |