PDF-версии: 
В каждой клетке квадратной таблицы 6 × 6 стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?
Решение. а) Да. Например, если числа расставить так, как показано в таблице, приведенной ниже слева, Петя получит 12, а Вася — 6.
б) Наименьшая сумма, которая может получиться у Васи, равна 6. Чтобы у Пети было в 6 раз больше, его сумма должна равняться 36. Для этого в каждой строке все числа должны быть равны 6. Но тогда Вася не получит в сумме 6. Противоречие.
в) Для таблицы 2, приведенной ниже справа, Петя получит 31, а Вася — 6. Таким образом, у Пети в 
раза больше, чем у Васи. Покажем, что большего отношения получить невозможно. Действительно, для любой заданной таблицы чисел достичь наибольшего отношения сумм наименьших по строкам и столбцам элементов можно, преобразовав ее следующим образом:
1) записать строки в порядке убывания (невозрастания) наименьших элементов в них;
2) затем внутри каждого из столбцов заменить элементы более высоких строк на большие элементы из нижних строк. При этом наименьшие элементы в каждой из строк не уменьшаются, а наименьшие элементы в каждом из столбцов не меняются (*).
В результате ходов 1) и 2) любая исходная таблица преобразуется в таблицу, где внутри каждого из столбцов элементы записаны в порядке неубывания. В силу (*) отношение сумм наименьших по строкам и столбцам элементов для полученной таблицы максимально. Следовательно, наибольшее отношение будет достигнуто для таблицы, в которой элементы каждой строки, кроме последней, максимальны
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Приведём другое решение.
а) Да. Заполним, например, первую строку таблицы единицами, вторую тройками, а остальные — двойками. Тогда сумма у Васи будет 6, а у Пети — 12.
б) Нет. Васина сумма не меньше 6, а Петина не больше 36, поэтому они могут отличаться в 6 раз, только если равны 6 и 36, то есть все Петины числа — шестерки. Значит, все числа во всех строках равны шести, и Васина сумма тоже равна 36.
в) Если занять первую строку единицами, а остальные строки шестерками, то у Пети получится сумма 31, то есть отличаться они будут в раза.
Если у Васи сумма не равна 6, то отличие не более чем в 
поэтому такие варианты не подходят. Если же Васина сумма равна 6, то в таблице обязательно есть число 1. Петя выберет его как наименьшее в какой-то строке и общая сумма будет не больше 
поэтому приведенный нами ответ оптимальный.
Ответ: а) да; б) нет; в) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в. | 4 |
| Приведем верный пример в пункте а и обоснованно получен верный ответ в пункте в. ИЛИ Обоснованно получены верные ответы в пунктах б и в. | 3 |
| Приведен верный пример в пункте а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в. | 2 |
| Приведен верный пример в пункте а или обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |