PDF-версии: 
В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь трапеции, если 
а основания равны 5 и 7.
Решение. а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому AO и BO — биссектрисы углов BAD и ABC. Сумма этих углов равна
поэтому сумма углов BAO и ABO равна 
Аналогично 
Тогда
Следовательно, 
б) Окружность радиуса R, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, касается ее сторон AB, BC, CD и AD в точках 
соответственно. Тогда AKON и BKOL — квадраты, поэтому 
Значит,
Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, пересекаются под прямым углом, поэтому треугольник COD прямоугольный. Отрезок 
— высота этого прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, поэтому 
то есть 
Откуда находим, что 
Следовательно, площадь трапеции равна
Ответ: б) 35.
Приведем решение, основанное на идее Олега Бражника из Саратова.
Пусть ВС — меньшее основание трапеции и AB = х. Проведем высоту СК, заметим, что 
Трапеция описана вокруг окружности, поэтому 
Следовательно, 
Применим теорему Пифагора к треугольнику CKD:
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |