№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задание 18 № 517504

Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет хотя бы одно решение.

Решение.

Изобразим множество точек, заданное системой неравенств

на плоскости

Искомое множество является пересечением части плоскости, лежащей внутри параболы, заданной уравнением и двух тупых углов, ограниченных прямыми и (см. рис., выделено жирным контуром).

Найдём абсциссы их точек пересечения:

Решим уравнение

Решим уравнение

Из рисунка следует, что система имеет решения для всех а, лежащих выше ординаты вершины параболы, но ниже точки пересечения параболы с прямой то есть для всех a из отрезка и для

 

Приведём другое решение.

Заметим, что при и при Поэтому первое неравенство системы равносильно двойному неравенству при и равносильно двойному неравенству при При получаем:

откуда При исходная система принимает вид:

откуда

При любом выполнено неравенство поскольку Поэтому при исходная система равносильна системе

Из этой системы следует, что откуда Заметим, что максимальное значение функции на отрезке равно 4, а минимальное значение функции равно Значит, выполнено неравенство Кроме того при больший корень уравнения удовлетворяет системе неравенств, поскольку функция принимает на отрезке все значения от до 4, и её значения в точке отрезка не превосходят значений функции Таким образом, исходная система неравенств имеет хотя бы одной решение при и

 

Ответ:

· ·