PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых система
имеет хотя бы одно решение.
Решение. Изобразим множество точек, заданное системой неравенств
Искомое множество является пересечением части плоскости, лежащей внутри параболы, заданной уравнением 
и двух тупых углов, ограниченных прямыми 
и 
(см. рис., выделено жирным контуром). Найдём абсциссы их точек пересечения.
Решим уравнение:
Решим уравнение:
Найденное во втором случае единственное решение квадратного уравнения соответствует касанию параболы и стороны угла. Тем самым система имеет решения для всех а, лежащих выше ординаты вершины параболы, но ниже точки пересечения параболы с прямой 
то есть для всех a из отрезка
и для 
Приведём другое решение.
Заметим, что 
при 
и 
при 
Поэтому первое неравенство системы равносильно двойному неравенству 
при и равносильно двойному неравенству 
при При получаем:
откуда 
При 
исходная система принимает вид:
откуда
При любом 
выполнено неравенство 
поскольку 
Поэтому при исходная система равносильна системе
Из этой системы следует, что 
откуда 
Заметим, что максимальное значение функции 
на отрезке 
равно 4, а минимальное значение функции 
равно 
Значит, выполнено неравенство 
Кроме того, при 
больший корень уравнения 
удовлетворяет системе неравенств, поскольку функция принимает на отрезке все значения от 
до 4 и её значения в точке отрезка не превосходят значений функции 
Таким образом, исходная система неравенств имеет хотя бы одной решение при и
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек  и/или  | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен промежуток множества значений a, возможно, с исключением граничных точек, или точка ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения. | 2 |
| Верно построено множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств. ИЛИ Обоснованно получено множество значений параметра | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
или 