PDF-версии: 
Точки E и K — соответственно середины сторон CD и AD квадрата ABCD. Прямая BE пересекается с прямой CK в точке O.
а) Докажите, что вокруг четырёхугольника ABOK можно описать окружность.
б) Найдите AO, если сторона квадрата равна 1.
Решение. а) Треугольники BCE и CDK равны по двум катетам, следовательно,
то есть прямая BE перпендикулярна прямой CK. Тогда в четырёхугольнике ABOK: ∠BAK = ∠BOK = 90°. Поэтому вокруг него можно описать окружность.
б) Введём систему координат, как показано на рисунке. В этой системе 
Уравнение прямой KC: 
уравнение прямой BE: 
Координаты точки O найдём из системы уравнений
Тогда расстояние между 
и 
равно
Ответ: б) 1.
Приведём другое решение п. а).
Повернём треугольник BCE на 90° по часовой стрелке и параллельным переносом совместим точку B с точкой C. Тогда треугольник BCE наложится на CKD, прямая BE совпадет с прямой CK. Поскольку после поворота прямые совпали, до поворота угол между ними был 90°.
Приведём другое решение п. б).
Прямоугольные треугольники BCE и BAK равны по двум катетам, значит, 
то есть на хорды AO и AB описанной около четырёхугольника ABOK окружности опираются равные углы. Таким образом, 
Приведём решение п. б) Андрея Плюхина.
Продолжим отрезок CK до точки F пересечения с прямой AB. Прямоугольные треугольники KDC и KAF равны по катету и острому углу, поэтому AF = ВС = 1, а точка A — середина BF.
Точка O принадлежит окружности с центром в точке A и диаметром BF, поскольку эта точка — вершина прямого угла, стягивающего диаметр BF. Следовательно, AO = AB = AF = 1 — радиус этой окружности.
Второй абзац этого решения можно заменить таким рассуждением: из суммы углов получаем, что угол FOB прямой, следовательно, АО является медианой прямоугольного треугольника и равна половине гипотенузы.
Приведём решение Дениса Чернышева (Тюмень).
а) Вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противолежащих углов равны 180°. По условию ABCD — квадрат, в нем угол А прямой. Докажем, что угол KOB прямой. Имеем:
Значит,
Стороны квадрата равны, поэтому 
Значит, скалярное произведение равно нулю, а тогда
б) Необходимо найти модуль вектора 
Запишем его в виде
где 
По теореме Пифагора из треугольника DCK находим:
Прямоугольные треугольники DCK и OCE подобны, поскольку имеют общий острый угол. Значит, 
откуда
Следовательно,
Подставим найденный коэффициент x в выражение для вектора 
получим:
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |