PDF-версии: 
В параллелепипеде 
точка M середина ребра C1D1, а точка K делит ребро AA1 в отношении 
Через точки K и M проведена плоскость α, параллельная прямой BD и пересекающая диагональ A1C в точке O.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ A1C в отношении 
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (АВС), если дополнительно известно, что ― куб.
Решение.
а) Поскольку плоскость α параллельна прямой BD, она параллельна и прямой B1D1, а, значит, плоскость α, пересекает плоскость B1D1С1 по некоторой прямой MN, параллельной прямой B1D1. Пусть точка 
и прямая MN пересекает прямую A1C1 в точке L, а прямая KL пересекает прямую CC1 в точке P. Тогда точка пересечения прямых A1C и KL есть точка пересечения плоскости α с диагональю A1C (см. рис. 1).
Прямая MN параллельна B1D1 и точка M середина ребра C1D1, Значит, отрезок MN ― средняя линия треугольника B1C1D1 и, следовательно, 
Положим 
тогда 
Далее имеем (см. рис. 2):
1) 
откуда 
Отсюда находим: 
и тогда 
2) 
откуда
что и требовалось доказать.
б) Из того, что 
и 
получаем, что 
А значит, согласно теореме о трех перпендикулярах, 
Кроме того, 
Таким образом, угол 
― линейный угол искомого двугранного угла.
Далее имеем: 
Из треугольника находим: 
откуда 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |