РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Конечная возрастающая последовательность $a_1,a_2,...,a_n$ состоит из $n\geqslant3$ натуральных чисел, причём при всех натуральных $k меньше или равно n минус 2$ выполнено равенство $3a_k плюс 2=5a_k плюс 1 минус 2a_k.$

а)  Приведите пример такой последовательности при n  =  4.

б)  Может ли в такой последовательности при некотором $n\geqslant3$ выполняться равенство $a_n=3a_2 минус 2a_1?$

в)  Какое наименьшее значение может принимать a₁, если a_n  =  667?

Решение. а)  Например, 9, 18, 24, 28.

б)  Поскольку $a_k плюс 2=a_k плюс 1 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка a_k плюс 1 минус a_k правая круглая скобка ,$ числа $a_k плюс 1$ и a_k дают одинаковые остатки при делении на 3. Значит, все члены последовательности (кроме, может быть, последнего  — он не нужен для дальнейших вычислений) дают одинаковые остатки от деления на 3. Будем сразу считать, что если такое возможно, то a_n  — последний член последовательности (выкинем остальные). Тогда $a_n=3 левая круглая скобка a_2 минус a_1 правая круглая скобка плюс a_1,$ поэтому и оно дает тот же остаток при делении на 3.

Заметим, что если вычесть из всех членов последовательности одно и то же число, то соотношение $a_k плюс 2=a_k плюс 1 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка a_k плюс 1 минус a_k правая круглая скобка ,$ эквивалентное соотношению из условия, останется верным и для новой последовательности, а соотношение $a_n=3a_2 минус 2a_1$ будет выполнено, если было выполнено ранее. Вычтем тогда из всех членов последовательности $a_1.$ Теперь мы можем считать, что $a_1=0,$ а остальные члены последовательности  — натуральные числа. Значит, они все делятся на 3. Поделим. Опять же соотношение из условия будет выполнено и для новой последовательности, а соотношение $a_n=3a_2 минус 2a_1$ будет выполнено, если было выполнено ранее. Значит, все ее члены опять делятся на 3. Поделим. Поскольку этот процесс можно продолжать бесконечно, все члены нашей последовательности делятся на любую степень тройки, что невозможно, для отличных от нуля чисел.

в)  Обозначим $b_k=a_k минус a_k минус 1.$ Поскольку $a_k плюс 2 минус a_k плюс 1= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка a_k плюс 1 минус a_k правая круглая скобка ,$ то $b_k плюс 2= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби b_k плюс 1.$ Обозначая $a_1=a,b_2=b$ имеем $b_3= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби b,b_4= дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби b,\ldots,b_k плюс 2= дробь: числитель: 2 в степени k , знаменатель: 3 в степени k конец дроби b.$ Далее, $a_k плюс 2=b_k плюс 2 плюс b_k плюс 1 плюс \ldots плюс b_2 плюс a_1=a плюс b левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс \ldots плюс дробь: числитель: 2 в степени k , знаменатель: 3 в степени k конец дроби правая круглая скобка ,$ поэтому b делится на $3 в степени k .$ Теперь разберем несколько случаев.

1.   $k=1,$ тогда $b=3x,$ $a_3=a плюс 5x=667,$ откуда $a больше или равно 2.$ При $a=2$ имеем $x=133,b=399$ и последовательность имеет вид 2, 401, 667. Осталось выяснить, может ли быть $a=1.$

2.   $k=2,$ тогда $b=9x,$ $a_3=1 плюс 19x не равно 667.$

3.   $k=3,$ тогда $b=27x,$ $a_4=1 плюс 65x не равно 667.$

4.   $k=4,$ тогда $b=81x,$ $a_5=1 плюс 211x не равно 667.$

5.   $k=5,$ тогда $b=243x,$ $a_6=1 плюс 665x не равно 667.$

6.   $k больше 5,$ тогда b кратно 729 и $a_n больше a_2=a плюс b больше 729 больше 667.$

Ответ: а)  9, 18, 24, 28; б)  нет; в)  2.

Примечание.

Использованная при решении пункта б) идея носит название метода бесконечного спуска.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	515730	а)  9, 18, 24, 28; б)  нет; в)  2.

Ключ