а)  На­при­мер, 9, 18, 24, 28.

б)  По­сколь­ку числа и a_k дают оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 3. Зна­чит, все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти (кроме, может быть, по­след­не­го  — он не нужен для даль­ней­ших вы­чис­ле­ний) дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 3. Будем сразу счи­тать, что если такое воз­мож­но, то a_n  — по­след­ний член по­сле­до­ва­тель­но­сти (вы­ки­нем осталь­ные). Тогда по­это­му и оно дает тот же оста­ток при де­ле­нии на 3.

За­ме­тим, что если вы­честь из всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти одно и то же число, то со­от­но­ше­ние эк­ви­ва­лент­ное со­от­но­ше­нию из усло­вия, оста­нет­ся вер­ным и для новой по­сле­до­ва­тель­но­сти, а со­от­но­ше­ние будет вы­пол­не­но, если было вы­пол­не­но ранее. Вы­чтем тогда из всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти Те­перь мы можем счи­тать, что а осталь­ные члены по­сле­до­ва­тель­но­сти  — на­ту­раль­ные числа. Зна­чит, они все де­лят­ся на 3. По­де­лим. Опять же со­от­но­ше­ние из усло­вия будет вы­пол­не­но и для новой по­сле­до­ва­тель­но­сти, а со­от­но­ше­ние будет вы­пол­не­но, если было вы­пол­не­но ранее. Зна­чит, все ее члены опять де­лят­ся на 3. По­де­лим. По­сколь­ку этот про­цесс можно про­дол­жать бес­ко­неч­но, все члены нашей по­сле­до­ва­тель­но­сти де­лят­ся на любую сте­пень трой­ки, что не­воз­мож­но, для от­лич­ных от нуля чисел.

в)  Обо­зна­чим По­сколь­ку то Обо­зна­чая имеем Далее, по­это­му b де­лит­ся на Те­перь раз­бе­рем не­сколь­ко слу­ча­ев.

1.   тогда от­ку­да При имеем и по­сле­до­ва­тель­ность имеет вид 2, 401, 667. Оста­лось вы­яс­нить, может ли быть

2.   тогда

3.   тогда

4.   тогда

5.   тогда

6.   тогда b крат­но 729 и

Ответ: а)  9, 18, 24, 28; б)  нет; в)  2.

При­ме­ча­ние.

Ис­поль­зо­ван­ная при ре­ше­нии пунк­та б) идея носит на­зва­ние ме­то­да бес­ко­неч­но­го спус­ка.

а)  На­при­мер, под­хо­дит по­сле­до­ва­тель­ность

б)  При всех на­ту­раль­ных по­ло­жим Тогда ра­вен­ство рав­но­силь­но ра­вен­ству Сле­до­ва­тель­но, по­сле­до­ва­тель­ность b_k при об­ра­зу­ет гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию со зна­ме­на­те­лем

Имеем

Зна­чит, ра­вен­ство ни при каком вы­пол­нять­ся не может.

в)  Как до­ка­за­но в ре­ше­нии пунк­та б, по­сле­до­ва­тель­ность при об­ра­зу­ет гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию со зна­ме­на­те­лем Имеем Сле­до­ва­тель­но, де­лит­ся на а даёт при де­ле­нии на тот же оста­ток, что и число 315. По­сколь­ку по­лу­ча­ем, что Остат­ки при де­ле­нии числа на и со­от­вет­ствен­но равны и Зна­чит, не может быть мень­ше 3.

При­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти по­ка­зы­ва­ет, что может рав­нять­ся 3.

Ответ: а)  на­при­мер, по­сле­до­ва­тель­ность б)  нет; в)  3.

а)  На­при­мер, под­хо­дит по­сле­до­ва­тель­ность 1, 65, 113, 149, 176.

б)  При всех на­ту­раль­ных по­ло­жим Тогда ра­вен­ство рав­но­силь­но ра­вен­ству Сле­до­ва­тель­но, по­сле­до­ва­тель­ность b_k при об­ра­зу­ет гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию со зна­ме­на­те­лем

Имеем

Зна­чит, ра­вен­ство ни при каком вы­пол­нять­ся не может.

в)  Как до­ка­за­но в ре­ше­нии пунк­та б, по­сле­до­ва­тель­ность при об­ра­зу­ет гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию со зна­ме­на­те­лем Имеем Сле­до­ва­тель­но, де­лит­ся на а даёт при де­ле­нии на тот же оста­ток, что и число 527. Так как по­лу­ча­ем, что Остат­ки при де­ле­нии числа на и со­от­вет­ствен­но равны 2, 9, 2 и 527. Зна­чит, не может быть мень­ше 2.

При­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти 2, 194, 338, 446, 527 по­ка­зы­ва­ет, что может рав­нять­ся 2.

Ответ: а) на­при­мер, по­сле­до­ва­тель­ность б) нет; в) 2.