PDF-версии: 
Точки B1 и C1 лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причём AB1 : B1C = AC1 : C1B. Прямые BB1 и CC1 пересекаются в точке O.
а) Докажите, что прямая AO делит пополам сторону BC.
б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что AB1 : B1C = AC1 : C1B = 1 : 4.
Решение. а) По теореме Менелая
и 
Поскольку 
находим: 
б) По теореме Менелая 
Также имеем 
Заметим, что треугольники AB1B и BCB1 имеют общую высоту, следовательно: 
Поэтому 
Аналогично доказываем, что 
Треугольники AOC и AC1O имеют общую высоту, поэтому 
Аналогично доказываем, что 
Тогда 
Ответ: 
Приведём другое решение (Олег Цимбалист).
а) Из заданного по условию соотношения длин отрезков следует подобие треугольников ABC и 
из которого, в свою очередь, следует параллельность отрезков BC и 
Отрезок 
рассекает исходный треугольник ABC на треугольник 
и трапецию 
в которой точка О — это точка пересечения диагоналей.
Точка пересечения диагоналей трапеции лежит на прямой, проходящей через точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции и середины её оснований, из чего следует искомое утверждение.
б) Пусть в треугольнике ABC длина основания BC равна a, а высота, опущенная из вершины на основание BC, равна h. И пусть площадь треугольника АВС равна 
тогда 
Высота отсеченной трапеции 
составит 
Диагонали трапеции отсекают от неё подобные треугольники BCO и 
в которых
Высоты этих треугольников тоже соотносятся как 5 : 1, следовательно, высота треугольника BCO составит 5/6 от высоты трапеции 
Поэтому площадь 
а площадь треугольника 
составит его 25-ю часть, то есть 
Наконец, 
Итак, искомое соотношение равно 1 : 15.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |