Варианты заданий
Версия для печати и копирования в MS Word1
Четыре натуральных числа a, b, c, d таковы, что
а) Могут ли все числа быть попарно различны?
б) Может ли одно из этих чисел равняться 9?
в) Найдите все возможные наборы чисел (без учета их порядка в наборе), среди которых ровно два числа равны.
но в этом случае равны все числа, а не ровно два из них. Наконец, ни одно из чисел не равно единице. Следовательно, среди чисел непременно есть 2 или 3. Будем считать, что 
Умножим обе части равенства на abc, получим: 
В силу симметрии а и b достаточно рассмотреть случай, когда 2 или 3 равно либо a, либо c. Рассмотрим эти варианты.
тогда 
то есть 
откуда 
Это дает варианты 
(не подходит, поскольку три числа равны 6), 
тогда 
то есть 
откуда 
Это дает варианты 
(не подходит, поскольку дает две пары одинаковых чисел); 
тогда 
откуда 
что невозможно.
тогда 
а значит, 
откуда получаем, что 
Отсюда имеем: 
(не подходит, поскольку дает две пары одинаковых чисел).
2
Четыре натуральных числа таковы, что
а) Могут ли все эти числа быть попарно различны?
б) Может ли одно из этих чисел равняться 7?
в) Найдите все возможные наборы таких чисел, среди которых есть равные.
и умножим сразу обе части на abc. Получим 
и равенство невозможно. Более того, если они все не меньше четырех, то равенство возможно лишь для 
C другой стороны, ни одно из чисел, очевидно, не равно единице. Итак, среди чисел есть либо 2 либо 3. Мы можем считать, что это число либо a, либо c. Теперь разберем варианты.
Получаем 
Получаем 
Получаем 
Получаем 
(и наоборот) и 
