PDF-версии: 
Четыре натуральных числа таковы, что
а) Могут ли все эти числа быть попарно различны?
б) Может ли одно из этих чисел равняться 7?
в) Найдите все возможные наборы таких чисел, среди которых есть равные.
Решение. а) Да, например, 
б) Да, например, 
в) Будем считать, что 
и умножим сразу обе части на abc. Получим 
Сразу заметим, что если все числа a, b, c больше четырех, то 
и равенство невозможно. Более того, если они все не меньше четырех, то равенство возможно лишь для 
C другой стороны, ни одно из чисел, очевидно, не равно единице. Итак, среди чисел есть либо 2 либо 3. Мы можем считать, что это число либо a, либо c. Теперь разберем варианты.
1) 
Получаем 
Это дает варианты 
2) 
Получаем 
Это дает варианты 
3) 
Получаем 
что невозможно.
4) 
Получаем 
Это дает варианты 
(и наоборот) и 
Выписывая ответ, заметим, что некоторые ответы получились дважды (с перестановкой цифр). Их выпишем только один раз.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |