Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 514529
i

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AK и CM. На них из точек M и K опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ME и KH со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые EH и AC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние EH и AC, если \angle ABC=60 гра­ду­сов.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сколь­ку

\angle AMC=\angle AKC=\angle MEK=\angle MHK=90 гра­ду­сов,

около четырёхуголь­ни­ков AMKC и MEHK можно опи­сать окруж­ность с диа­мет­ра­ми AC и MK со­от­вет­ствен­но.

Зна­чит,

\angle KAC=\angle KMC = \angle KMH = \angle KEH,

то есть пря­мые AC и EH па­рал­лель­ны.

б)  Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AK и CM. Тогда

\angle AOM=90 гра­ду­сов минус \angle MAO=90 гра­ду­сов минус \angle BAK=\angle ABC=60 гра­ду­сов.

В тре­уголь­ни­ке EOH и AOC угол AOC общий, а углы OEH и OAC равны. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки EOH и AOC по­доб­ны.

По­сколь­ку

EO=MO умно­жить на ко­си­нус \angle AOM= AO умно­жить на ко­си­нус в квад­ра­те \angle AOM=AO умно­жить на ко­си­нус в квад­ра­те 60 гра­ду­сов= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби AO,

ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Зна­чит, EH : AC=1 : 4.

 

Ответ: б) 1 : 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 514449: 514529 514536 661328 Все

Источники:
Методы геометрии: Три­го­но­мет­рия в гео­мет­рии
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка, По­до­бие
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025