а)  За­ме­тим, что от­ре­зок AC виден из точек K и M под углом 90°, по­это­му точки М, К, С и А лежат на одной окруж­но­сти, диа­мет­ром ко­то­рой яв­ля­ет­ся от­ре­зок АС. Ана­ло­гич­но, точки M, K, H, E лежат на окруж­но­сти, диа­мет­ром ко­то­рой яв­ля­ет­ся MK.

Пусть Тогда так как они опи­ра­ют­ся на одну дугу KC в окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг четырёхуголь­ни­ка AMKC. Кроме того, так как они опи­ра­ют­ся на одну дугу KH в окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг четырёхуголь­ни­ка MKHE. Так как пря­мые EH и АС па­рал­лель­ны, по­сколь­ку это со­от­вет­ствен­ные углы при пе­ре­се­че­нии EH и AC се­ку­щей OA. Это и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Ис­поль­зу­ем по­до­бие тре­уголь­ни­ков. Тре­уголь­ни­ки MBK и CBA по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия Тре­уголь­ни­ки OEH и OMK также по­доб­ны с тем же ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия. Кроме того, по­доб­ны тре­уголь­ни­ки OMK и AOC, по­это­му по­доб­ны тре­уголь­ни­ки OEH и OAC, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен Тогда

Тем самым ис­ко­мое от­но­ше­ние длин сто­рон равно 1 : 2.

Ответ: б) 1 : 2.