PDF-версии: 
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH и AC, если 
Решение. а) Поскольку
около четырёхугольников AMKC и MEHK можно описать окружность с диаметрами AC и MK соответственно.
Значит,
то есть прямые AC и EH параллельны.
б) Пусть O — точка пересечения отрезков AK и CM. Тогда
В треугольнике EOH и AOC угол AOC общий, а углы OEH и OAC равны. Значит, треугольники EOH и AOC подобны.
Поскольку
коэффициент подобия равен 
Значит, 
Ответ: б) 1 : 4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |