PDF-версии: 
В правильной треугольной призме АВСА′B′C′ сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА′ равно 3. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК = 1. Точки
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости γ.
Решение. а) Построим сечение призмы плоскостью γ. Проведём КР || АС,
CP = 1. Проведём PL, проведём LR || AC, 
Проведём RK. Трапеция LPKR — искомое сечение. Сечение параллельно АС по признаку параллельности прямой к плоскости.
Введём систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат: В(0; 0; 0), С(0; 6; 0), В'(0; 0; 3), C'(0; 6; 3), 
P(0; 5; 0), 
Тогда
Откуда получаем:
Так как 
и 
получаем, что 
б) Далее заметим, что плоскость сечения перпендикулярна вектору 
найдем уравнение плоскости и вычислим расстояние от точки до плоскости.
Найдём свободный член D в уравнении плоскости 
подставив координаты точки К:
поэтому 
Упростив уравнение плоскости, получим: 
Тогда для искомого расстояния получаем:
Приведем другое решение.
а) Четырёхугольник RLPK — искомое сечение. Проведём плоскость B'MTB. Имеем:
Рассмотрим прямоугольник BB'MT. Заметим, что LR — средняя линия треугольника A'B'C', тогда F' — середина B'M, тогда
(ΔBKF ~ ΔBAT):
Пусть теперь 
Тогда 
На продолжении TB за точку B отметим точку F'', такую, что 
Тогда 
и 
Далее,
По обратной теореме Пифагора, треугольник FF'F'' прямоугольный 
следовательно, 
б) Заметим, что поскольку 
то 
Пусть основанием перпендикуляра опущенного из T на γ будет являться точка S. Тогда TS || BM || F''F'. Таким образом, треугольники FTS и FF''F' будут подобны. Следовательно, 
откуда 
Ответ: б) 
Еще один подход к решению задачи, не использующий метод координат, укажем на примере задачи 514653.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |