PDF-версии: 
В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при рёбрах AD и BC равны. AB = BD = DC = AC = 5.
а) Докажите, что AD = BC.
б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при AD и BC равны 60°.
Решение. а) Треугольник BAC — равнобедренный. Проведём AM ⊥ BC. M — середина BC, тогда DM ⊥ BC, поскольку треугольник BDC равнобедренный. ∠AMD = φ — линейный угол двугранного угла при ребре BC. Аналогично ∠BNC = φ — линейный угол двугранного угла при ребре AD. ΔABC = ΔDBC по трём сторонам, тогда MA = MD и
Аналогично ΔBAD = ΔCAD и NB = NC, а
Треугольники ANM и BMN равны по общему катету MN и острому углу α, тогда AN = BM. Но 
следовательно, AD = BC.
б) По условию φ = 60°, тогда треугольник AMD равносторонний. Пусть AD = AM = MD = BC = a, тогда 
В треугольнике AMB имеем 
откуда 
и 
Тогда
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |