PDF-версии: 
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и CA в точках K, M и N соответственно.
а) Докажите, что 
б) Найдите отношение AK : KB, если известно, что AN : NC = 4 : 3 и 
Решение. а) Отрезки AK и AN, BK и BM, CN и CM попарно равны, так как это отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки (см. рис.). Тогда:
откуда 
что и требовалось доказать.
б) Положим AN = 4, BK = x, тогда AK = 4, CN = CM = 3, BM = x.
Согласно теореме косинусов получаем:
откуда x = 
BK = 
Таким образом, AK : KB = 5 : 7.
Ответ: б) 5 : 7.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Не доказано утверждения пункта а), но обоснованно получен верный ответ в пункте б) без использования утверждения пункта а) ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ в результате арифметической ошибки (описки) ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а), получен верный ответ в пункте б), но решение недостаточно обоснованно, либо обоснования содержат неточности. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при неверном доказательстве утверждения пункта а) и обоснованном решении пункта б) без использования утверждения пункта а) получен неверный ответ в результате арифметической ошибки (описки) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен или выполнен неверно ИЛИ получен верный ответ в пункте б), но решение недостаточно обоснованно, либо обоснования содержат неточности | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |