PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 3, а боковое ребро 
На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.
а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Решение. а) Покажем, что стороны четырёхугольника MNKL равны и диагонали равны:
Поэтому MNKL — квадрат.
б) Площадь сечения является суммой площади квадрата со стороной 
и двух площадей равных равнобедренных треугольников с основанием и боковыми сторонами 
Площадь квадрата равна 8, площади треугольников находим как половину произведения высоты на основание 
Поэтому искомая площадь сечения равна 10.
Ответ: а) доказано; б) 10.
Приведём другое вычисление пункта б).
Заметим, что косинус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения равен 
Площадь сечения связана с площадью проекции сечения на плоскость основания формулой 
Площадь проекции равна разности площади лежащего в основании квадрата и двух равнобедренных прямоугольных треугольников с катетами 2. Таким образом, площадь проекции равна 9 − 4 = 5, а площадь сечения равна 10.
Приведём другое решение.
а) Плоскость MNK пересекает плоскости оснований ABCD и A1B1C1D1 по параллельным прямым, следовательно, прямые NK и ML параллельны. Отрезки NK и ML не только параллельны, но и равны, поскольку равны треугольники ND1K и MBL. Следовательно, четырёхугольник NKLM — параллелограмм.
Покажем, что его смежные стороны сечения взаимно перпендикулярны. Пусть P — проекция точки N на плоскость нижнего основания, тогда 
прямоугольные треугольники PAM и MBL равнобедренные, углы PMA и BML равны по 45°, а значит, 
то есть прямые PM и ML перпендикулярны. Но PM является проекцией наклонной NM, поэтому стороны параллелограмма NM и ML перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, сечение — прямоугольник.
По теореме Пифагора найдем длины смежных сторон: 
Тем самым MNKL — квадрат. Это и требовалось доказать.
б) Пусть W — точка пересечения прямых NK и A1B1. Тогда WA1 = NA1 как катеты равнобедренного прямоугольного треугольника. Пусть E — точка пересечения прямой WM с ребром AA1. Прямоугольные треугольники WA1Е и EAM подобны, а их катеты MA и WA1равны. Поэтому равны и другие катеты, а значит, Е — середина AA1. Аналогично плоскость MNK пересекает ребро CC1 в его середине F. В прямоугольнике AEFC противоположные стороны равны, поэтому 
Сечение — шестиугольник MENKFL — состоит из двух равных трапеций ENKF и EMLF, причём прямая MN перпендикулярна их основаниям. Поэтому искомая площадь сечения равна
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |