Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 511502

Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.

а) Докажите, что эти хорды равны.

б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен 6 корень из { 21}.

Решение.

а) Пусть две хорды равны 3x и 3y. По теореме о произведении пересекающихся хорд 2x · x = 2y · y. Отсюда находим, что x = y, значит, эти хорды равны. Аналогично докажем, что третья хорда равна каждой из первых двух.

б) Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому центр равностороннего треугольника с вершинами в точках попарного пересечения хорд совпадает с центром данной окружности. Пусть хорды BE и CF пересекают хорду AD в точках P и Q соответственно, хорды BE и FC пересекаются в точке T, а H — проекция центра O на хорду AD. Тогда H — общая середина отрезков AD и PQ, а OH — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника PQT со стороной PQ.

Через точку T проведём прямую, параллельную AD, через точку P — прямую, параллельную CF, а через точку Q — прямую, параллельную BE. Эти прямые и хорды AD, BE и CF разбивают шестиугольник ABCDEF на 13 одинаковых равносторонних треугольников.

Обозначим PQ = 2a. Тогда

OH= дробь, числитель — 2a корень из { 3}, знаменатель — 6 = дробь, числитель — a корень из { 3}, знаменатель — 3 ,6 корень из { 21}=OA= корень из { OH в степени 2 плюс AH в степени 2 }= корень из { дробь, числитель — a в степени 2 , знаменатель — 3 плюс 9a в степени 2 }= дробь, числитель — 2a корень из { 7}, знаменатель — корень из { 3 }.

Отсюда находим, что a = 9, значит, PQ = 2a = 18, S_{PQT}=a в степени 2 корень из { 3}=81 корень из { 3}.

Следовательно,

S_{ABCDEF}=13S_{PQT}=13 умножить на 81 корень из { 3}=1053 корень из { 3}.

 

Ответ: 1053 корень из { 3}.


Аналоги к заданию № 507889: 507912 511502 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей