а)  Пусть две хорды равны 3x и 3y. По тео­ре­ме о про­из­ве­де­нии пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд 2x · x  =  2y · y. От­сю­да на­хо­дим, что x  =  y, зна­чит, эти хорды равны. Ана­ло­гич­но до­ка­жем, что тре­тья хорда равна каж­дой из пер­вых двух.

б)  Рав­ные хорды рав­но­уда­ле­ны от цен­тра окруж­но­сти, по­это­му центр рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках по­пар­но­го пе­ре­се­че­ния хорд сов­па­да­ет с цен­тром дан­ной окруж­но­сти. Пусть хорды BE и CF пе­ре­се­ка­ют хорду AD в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но, хорды BE и FC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке T, а H  — про­ек­ция цен­тра O на хорду AD. Тогда H  — общая се­ре­ди­на от­рез­ков AD и PQ, а OH  — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка PQT со сто­ро­ной PQ.

Через точку T про­ведём пря­мую, па­рал­лель­ную AD, через точку P  — пря­мую, па­рал­лель­ную CF, а через точку Q  — пря­мую, па­рал­лель­ную BE. Эти пря­мые и хорды AD, BE и CF раз­би­ва­ют ше­сти­уголь­ник ABCDEF на 13 оди­на­ко­вых рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков.

Обо­зна­чим PQ  =  2a. Тогда

От­сю­да на­хо­дим, что a  =  3, зна­чит, PQ = 2a = 6,

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

а)  Пусть две хорды равны 3x и 3y. По тео­ре­ме о про­из­ве­де­нии пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд 2x · x=2y · y. От­сю­да на­хо­дим, что x  =  y, зна­чит, эти хорды равны. Ана­ло­гич­но до­ка­жем, что тре­тья хорда равна каж­дой из пер­вых двух.

б)  б) Рав­ные хорды рав­но­уда­ле­ны от цен­тра окруж­но­сти, по­это­му центр рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках по­пар­но­го пе­ре­се­че­ния хорд сов­па­да­ет с цен­тром дан­ной окруж­но­сти. Пусть хорды BE и CF пе­ре­се­ка­ют хорду AD в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но, хорды BE и FC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке T, а H  — про­ек­ция цен­тра O на хорду AD. Тогда H  — общая се­ре­ди­на от­рез­ков AD и PQ, а OH  — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка PQT со сто­ро­ной PQ.

Через точку T про­ведём пря­мую, па­рал­лель­ную AD, через точку P  — пря­мую, па­рал­лель­ную CF, а через точку Q  — пря­мую, па­рал­лель­ную BE. Эти пря­мые и хорды AD, BE и CF раз­би­ва­ют ше­сти­уголь­ник ABCDEF на 13 оди­на­ко­вых рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков.

Обо­зна­чим PQ  =  2a. Тогда

От­сю­да на­хо­дим, что зна­чит,

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

а)  Пусть две хорды равны 3x и 3y. По тео­ре­ме о про­из­ве­де­нии пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд 2x · x  =  2y · y. От­сю­да на­хо­дим, что x  =  y, зна­чит, эти хорды равны. Ана­ло­гич­но до­ка­жем, что тре­тья хорда равна каж­дой из пер­вых двух.

б)  Рав­ные хорды рав­но­уда­ле­ны от цен­тра окруж­но­сти, по­это­му центр рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках по­пар­но­го пе­ре­се­че­ния хорд сов­па­да­ет с цен­тром дан­ной окруж­но­сти. Пусть хорды BE и CF пе­ре­се­ка­ют хорду AD в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но, хорды BE и FC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке T, а H  — про­ек­ция цен­тра O на хорду AD. Тогда H  — общая се­ре­ди­на от­рез­ков AD и PQ, а OH  — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка PQT со сто­ро­ной PQ.

Через точку T про­ведём пря­мую, па­рал­лель­ную AD, через точку P  — пря­мую, па­рал­лель­ную CF, а через точку Q  — пря­мую, па­рал­лель­ную BE. Эти пря­мые и хорды AD, BE и CF раз­би­ва­ют ше­сти­уголь­ник ABCDEF на 13 оди­на­ко­вых рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков.

Обо­зна­чим PQ  =  2a. Тогда

От­сю­да на­хо­дим, что a  =  9, зна­чит, PQ = 2a = 18,

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: