PDF-версии: 
Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.
а) Докажите, что эти хорды равны.
б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен 
Решение. а) Пусть две хорды равны 3x и 3y. По теореме о произведении пересекающихся хорд 2x · x = 2y · y. Отсюда находим, что x = y, значит, эти хорды равны. Аналогично докажем, что третья хорда равна каждой из первых двух.
б) Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому центр равностороннего треугольника с вершинами в точках попарного пересечения хорд совпадает с центром данной окружности. Пусть хорды BE и CF пересекают хорду AD в точках P и Q соответственно, хорды BE и FC пересекаются в точке T, а H — проекция центра O на хорду AD. Тогда H — общая середина отрезков AD и PQ, а OH — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника PQT со стороной PQ.
Через точку T проведём прямую, параллельную AD, через точку P — прямую, параллельную CF, а через точку Q — прямую, параллельную BE. Эти прямые и хорды AD, BE и CF разбивают шестиугольник ABCDEF на 13 одинаковых равносторонних треугольников.
Обозначим PQ = 2a. Тогда
Отсюда находим, что a = 9, значит, PQ = 2a = 18, 
Следовательно,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |