Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 511499

В параллелограмме ABCD известны стороны AB = 3, BC = 4 и ∠BAD = α. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB.

Решение.

Пусть O_{1} и O_{2} — центры описанных окружностей треугольников DAB и BCD соответственно, O — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Поскольку треугольники DAB и BCD равны, то радиусы окружностей также равны. По условию \angle BAD = \alpha. Пусть \alpha меньше 90 в степени \circ . По теореме косинусов BD= корень из { 3 в степени 2 плюс 4 в степени 2 минус 24 косинус \alpha}. Вписанный в окружность с центром O_{1} угол BAD равен половине центрального угла BO_{1}D, значит, \angle BO_{1}O_{2} = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 \angle BO_{1}D = \angle BAD = \alpha. Прямая O_{1}O_{2} — серединный перпендикуляр к диагонали BD, Поэтому

O_{1}O_{2} = 2O_{1}O = 2 умножить на BO умножить на \ctg \angle BO_{1}O=2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на BD умножить на \ctg \angle BO_{1}O= BD умножить на \ctg \alpha =

= корень из { 25 минус 24 косинус \alpha} умножить на \ctg \alpha.

Если же \alpha \geqslant 90 в степени \circ , то аналогично получим, что

 O_{1}O_{2} = корень из { 25 минус 24 косинус \alpha} умножить на \ctg (180 в степени \circ минус \alpha)= минус корень из { 25 минус 24 косинус \alpha} умножить на \ctg \alpha.

 

 

Ответ:  корень из { 25 минус 24 косинус \alpha} умножить на |\ctg\alpha|.


Аналоги к заданию № 507824: 511499 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники