Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 511378

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD= R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R= 1 и CD =3.

Решение.

а) Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, AO — биссектриса угла BAC. Треугольник AOD прямоугольный и равнобедренный, поэтому \angle OAD = 45 в степени circ. Следовательно, \angle BAC = 90 в степени circ.

б) Обозначим BF = x. По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, AE= AD= 1, CF=CD= 3 и BE= BF= x. По теореме Пифагора BC в степени 2 = AC в степени 2 плюс AB в степени 2 , или (3 плюс x) в степени 2 = 4 в степени 2 плюс (1 плюс x) в степени 2 . Из этого уравнения находим, что x= 2. Тогда BC=5,  синус \angle ABC= дробь, числитель — AC, знаменатель — BC = дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 .

Следовательно, S_{\Delta BEF}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BE умножить на BF умножить на синус \angle ABC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 2 умножить на 2 умножить на дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 = дробь, числитель — 8, знаменатель — 5 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 8, знаменатель — 5 .


Аналоги к заданию № 502296: 502316 511378 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники