Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 502296

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD= R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R= 5 и CD =15.

Решение.

а) Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, AO — биссектриса угла BAC. Треугольник AOD прямоугольный и равнобедренный, поэтому \angle OAD = 45 в степени circ. Следовательно, \angle BAC = 90 в степени circ.

 

б) Обозначим BF = x. По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, AE= AD= 5, CF=CD= 15 и BE= BF= x. По теореме Пифагора BC в степени 2 = AC в степени 2 плюс AB в степени 2 , или (15 плюс x) в степени 2 = 20 в степени 2 плюс (5 плюс x) в степени 2 . Из этого уравнения находим, что x= 10. Тогда

BC=25, синус \angle ABC= дробь, числитель — AC, знаменатель — BC = дробь, числитель — 20, знаменатель — 25 = дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 .

Следовательно,

S_{\Delta BEF}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BE умножить на BF синус \angle ABC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 10 умножить на 10 умножить на дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 = 40.

 

Ответ: 40.


Аналоги к заданию № 502296: 502316 511378 Все

Методы геометрии: Свойства касательных, секущих
Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и системы окружностей, Окружности и треугольники