Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 502316

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R = 2 и CD = 10.

Решение.

а) Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, AO — биссектриса угла BAC. Треугольник AOD прямоугольный и равнобедренный, поэтому ∠OAD = 45°. Следовательно, ∠BAC = 90°.

б) Обозначим BF = x. По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, AE = AD = 2, CF = CD = 10 и BE = BF = x. По теореме Пифагора BC2 = AC2 + AB2, или (10 + x)2 = 122 + (2 + x)2. Из этого уравнения находим, что x = 3. Тогда

BC=13, синус \angle ABC= дробь, числитель — AC, знаменатель — BC = дробь, числитель — 12, знаменатель — 13 .

Следовательно,

S_{\Delta BEF}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BE умножить на BF умножить на синус \angle ABC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 3 умножить на 3 умножить на дробь, числитель — 12, знаменатель — 13 = дробь, числитель — 54, знаменатель — 13 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 54, знаменатель — 13 .


Аналоги к заданию № 502296: 502316 511378 Все

Методы геометрии: Свойства касательных, секущих
Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и системы окружностей, Окружности и треугольники, Окружность, вписанная в треугольник