В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 16.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC, делит ребро MC в отношении 2 : 1, считая от вершины M.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
а) Пусть точка E — середина ребра MD. Отрезок BE пересекает плоскость MAC в точке P. В треугольнике MBD точка P является точкой пересечения медиан, следовательно, MP : PO = 2 : 1, где O — центр основания пирамиды. Отрезок FG параллелен AC и проходит через точку P (точка F принадлежит ребру MC, G — ребру MA), откуда
Что и требовалось доказать.
б) Из пункта а) следует, что:
Четырёхугольник BFEG — искомое сечение. Отрезок BE — медиана треугольника MBD, значит,
Поскольку прямая BD перпендикулярна плоскости MAC, диагонали BE и FG четырёхугольника BFEG перпендикулярны, следовательно,
Ответ: 