Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д14 C4 № 511346
i

Дан пря­мо­уголь­ник KLMN со сто­ро­на­ми: KN = 11, MN = 8. Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну М, ка­са­ет­ся окруж­но­сти с цен­тром К ра­ди­у­са 4 и пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой KN в точке Q. Най­ди­те QK.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть точка Q лежит между K и N (рис. 1), P  — точка ка­са­ния пря­мой MQ с дан­ной окруж­но­стью. Обо­зна­чим KQ=x.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка QPK по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим

PQ= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: QK в квад­ра­те минус PK в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 16 конец ар­гу­мен­та .

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки QPK и QNM по­доб­ны, по­это­му дробь: чис­ли­тель: PK, зна­ме­на­тель: PQ конец дроби = дробь: чис­ли­тель: MN, зна­ме­на­тель: QN конец дроби , от­ку­да дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 16 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 11 минус x конец дроби .

Тогда

левая круг­лая скоб­ка 11 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =4 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 16 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те плюс 22x минус 185=0 рав­но­силь­но x=5.

 

Если точка Q лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны NK за точку K (рис. 2), то, рас­суж­дая ана­ло­гич­но, по­лу­чим урав­не­ние 3x в квад­ра­те минус 22x минус 185=0, из ко­то­ро­го x= дробь: чис­ли­тель: 37, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ответ: 5 или дробь: чис­ли­тель: 37, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Рас­смот­ре­ны все воз­мож­ные гео­мет­ри­че­ские кон­фи­гу­ра­ции, и по­лу­чен пра­виль­ный ответ

3
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но пра­виль­ное зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны

2
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная гео­мет­ри­че­ская кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны, не­пра­виль­ное из-за гео­мет­ри­че­ской ошиб­ки

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 500642: 500644 511346 Все

Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и четырёхуголь­ни­ки, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026