PDF-версии: 
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)
а) Докажите, что существует сечение пирамиды, проходящее через её вершину и являющееся тупоугольным треугольником.
б) Найдите площадь вписанной сферы.
Решение. а) Пусть MH — высота правильной шестиугольной пирамиды
с вершиной M, тогда треугольник AMH прямоугольный, MA = 10 и MH = 6, откуда
Далее, 
Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через точки
поэтому, по теореме косинусов, угол AMD тупой. Таким образом, например, годится сечение пирамиды плоскостью AMD. Что и требовалось доказать.
б) Треугольник ABH равносторонний, следовательно, 
В треугольнике AMB высота
В правильном треугольнике AHB высота
Центр O сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани AMB лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому
где r — радиус сферы. Площадь сферы
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |